【2020·数学一·第2题】
设函数f(x) = { (1 - cosx)/x², x ≠ 0; a, x = 0 }，若f(x)在x=0处连续，则a = ?
标准解法：
由连续性定义，limx→0f(x) = f(0) = a。
计算极限：limx→0(1 - cosx)/x²。
利用等价无穷小：1 - cosx ~ x²/2（x→0），
故原式 = limx→0(x²/2)/x² = 1/2。
因此a = 1/2。
易搜职考网提醒：
① 常见错误：误用洛必达法则未验证条件（本题可使用，但需两次求导）；
② 高频陷阱：混淆“连续”与“可导”——本题仅要求连续，不可导也可连续；
③ 拓展应用：若改为“f(x)在x=0处可导”，则需额外验证左、右导数相等，此时a仍为1/2，但导数值为0。
【2020·数学三·第18题】
某商品需求函数为Q = 100 - 2P（Q为销量，P为价格），成本函数为C(Q) = 50 + 2Q + 0.01Q²。求：① 利润最大时的产量与价格；② 此时的最大利润。
建模思路：
由需求函数得反函数：P = 50 - Q/2。
收入函数R(Q) = P·Q = 50Q - Q²/2。
利润函数π(Q) = R(Q) - C(Q) = (50Q - Q²/2) - (50 + 2Q + 0.01Q²) = -0.51Q² + 48Q - 50。
求导：π'(Q) = -1.02Q + 48，令其为0得Q = 48/1.02 ≈ 47.06。
二阶导π''(Q) = -1.02 < 0，故为极大值点。
对应价格P = 50 - 47.06/2 ≈ 26.47。
最大利润π = -0.51×(47.06)² + 48×47.06 - 50 ≈ 1078.43。
易搜职考网提醒：
① 必须检查二阶条件确保极值类型；
② 注意单位一致性（本题Q为整数，但数学模型允许实数解，实际取整后误差可忽略）；
③ 经济含义：边际收入MR = 50 - Q，边际成本MC = 2 + 0.02Q，令MR=MC同样得Q=47.06，验证一致性。
【2020·数学一·第19题】
求函数f(x,y) = x² + y² - 4x - 6y + 10在区域D: x² + y² ≤ 10上的最大值与最小值。
分步策略：
① 求内部极值：解∇f = (2x-4, 2y-6) = (0,0)，得驻点(2,3)。
检查是否在D内：2²+3²=13 > 10，故(2,3)在D外，内部无极值点。
② 求边界极值：在x² + y² = 10上用拉格朗日乘数法。
构造L = x² + y² - 4x - 6y + 10 - λ(x² + y² - 10)。
求偏导得：2x-4 = 2λx，2y-6 = 2λy，x² + y² = 10。
解得两组解：(x,y) = (1,3)与(-1,-3)。
计算函数值：f(1,3) = 1+9-4-18+10 = -2；f(-1,-3) = 1+9+4+18+10 = 42。
③ 比较得：最小值-2，最大值42。
易搜职考网提醒：
① 常见疏漏：忽略“驻点是否在区域内”直接代入计算；
② 替代方法：参数化边界（x=√10 cosθ, y=√10 sinθ），转化为单变量函数求极值；
③ 几何意义：f(x,y)表示点(x,y)到(2,3)距离的平方减1，区域D为圆盘，最小值在D边界上离(2,3)最近点取得。
【2020·数学二·第22题】
设三阶矩阵A满足A² + 2A - 3E = 0，且A ≠ E，A ≠ -3E。证明：A可相似对角化，并求A的特征值。
证明思路：
由A² + 2A - 3E = 0得A的最小多项式整除λ² + 2λ - 3 = (λ+3)(λ-1)。
因A ≠ E且A ≠ -3E，故最小多项式不为(λ-1)或(λ+3)，只能是(λ+3)(λ-1)，无重根。
根据定理：矩阵可相似对角化当且仅当其最小多项式无重根。
故A可相似对角化，且特征值只能是1或-3。
又A ≠ E且A ≠ -3E，故特征值必同时包含1与-3（否则A=E或A=-3E）。
易搜职考网提醒：
① 此题为经典“矩阵多项式”题型，关键在找最小多项式；
② 不能仅由特征方程det(λE-A)=0判断（可能有重根），必须用最小多项式；
③ 推广：若A满足f(A)=0，则A的特征值必为f(λ)=0的根。
【2020·数学三·第23题】
设总体X的概率密度为f(x;θ) = θx^{θ-1}（00为未知参数。X₁,X₂,...,Xₙ为样本，求θ的矩估计量与极大似然估计量。
矩估计：
EX = ∫₀¹ x·θx^{θ-1}dx = θ∫₀¹ x^θ dx = θ/(θ+1)。
令样本均值X̄ = θ/(θ+1)，解得θ̂₁ = X̄/(1-X̄)。
极大似然估计：
似然函数L(θ) = ∏θxᵢ^{θ-1} = θⁿ (∏xᵢ)^{θ-1}。
对数似然lnL = nlnθ + (θ-1)∑lnxᵢ。
求导：d/dθ lnL = n/θ + ∑lnxᵢ = 0，解得θ̂₂ = -n / ∑lnxᵢ。
（注意：∑lnxᵢ < 0，故θ̂₂ > 0）
易搜职考网提醒：
① 本题为Beta分布特例（Beta(θ,1)），矩估计易因积分错误失分；
② 极大似然估计中，∑lnxᵢ为负值，需确保估计量为正；
③ 比较：矩估计计算简单但可能有偏，极大似然估计渐近无偏且高效。