2020考研数学三第15题(2020考研数学三第15题)

2020年考研数学三第15题是关于多元函数极值的题目，题目内容为：设函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2
- 4xy $，在区域 $ D = {(x, y) in mathbb{R}^2 mid x^2 + y^2 leq 4} $ 上求其极值。

该题考察的是多元函数极值的判定方法，包括使用拉格朗日乘数法与闭区间上的极值判定。题目要求考生在闭区间 $ D $ 上寻找函数 $ f(x, y) $ 的极值，因此需要结合极值判定定理进行分析。

我们考虑函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2
- 4xy $ 的定义域。该函数的定义域为 $ x^2 + y^2 leq 4 $，即圆域 $ x^2 + y^2 leq 4 $。由于该区域为有界闭区域，因此根据极值定理，函数在该区域内必定有极值。

我们考虑函数 $ f(x, y) $ 的极值。由于该函数为二次函数，可以尝试先分析其在无约束下的极值，再考虑约束下的极值。不过，由于题目特别说明在闭区间上求极值，因此我们应当使用拉格朗日乘数法求解。

设 $ nabla f = (2x
- 4y, 2y
- 4x) $，则其梯度为： $$ nabla f = (2x
- 4y, 2y
- 4x) $$ 令梯度为零，得到方程组： $$ begin{cases} 2x
- 4y = 0 \ 2y
- 4x = 0 end{cases} $$ 解得： $$ x = 2y quad text{和} quad y = 2x $$ 由 $ x = 2y $ 代入 $ y = 2x $ 得： $$ y = 2(2y) = 4y Rightarrow y = 0 Rightarrow x = 0 $$ 也是因为这些，极值点为 $ (0, 0) $。此时，函数值为： $$ f(0, 0) = 0^2 + 0^2
- 4 cdot 0 cdot 0 = 0 $$ 但是，这只是无约束下的极值点，还需要进一步考虑闭区间上的极值情况。由于 $ f(x, y) $ 是连续函数，且在有界闭区间上，因此其在闭区间上必定有极值。根据极值判定定理，函数在闭区间上达到极值，且可能出现在边界点或临界点。 我们考虑边界情况。边界为 $ x^2 + y^2 = 4 $，即圆周。我们可以将 $ y = pm sqrt{4
- x^2} $ 代入函数中，转化为一元函数进行求解。 设 $ x^2 + y^2 = 4 Rightarrow y = pm sqrt{4
- x^2} $，代入函数 $ f(x, y) $ 得： $$ f(x, y) = x^2 + y^2
- 4xy = 4
- 4xy $$ 因为 $ y = pm sqrt{4
- x^2} $，代入得： $$ f(x, y) = 4
- 4x cdot (pm sqrt{4
- x^2}) $$ 令 $ g(x) = 4
- 4x cdot (pm sqrt{4
- x^2}) $，分析其极值。 例如，考虑 $ y = sqrt{4
- x^2} $，则 $ f(x, y) = 4
- 4x cdot sqrt{4
- x^2} $。这个函数在 $ x in [-2, 2] $ 上是连续的，因此其在区间内必定有极值。可以通过求导来寻找极值点。 令导数为零，得到： $$ frac{d}{dx} left( 4
- 4x cdot sqrt{4
- x^2} right) = -4 cdot left( sqrt{4
- x^2} + x cdot frac{-x}{sqrt{4
- x^2}} right) = 0 $$ 化简得： $$ sqrt{4
- x^2} + frac{-x^2}{sqrt{4
- x^2}} = 0 Rightarrow frac{(4
- x^2)
- x^2}{sqrt{4
- x^2}} = 0 Rightarrow frac{4
- 2x^2}{sqrt{4
- x^2}} = 0 $$ 所以 $ 4
- 2x^2 = 0 Rightarrow x^2 = 2 Rightarrow x = pm sqrt{2} $，对应的 $ y = sqrt{4
- 2} = sqrt{2} $。 此时，函数值为： $$ f(sqrt{2}, sqrt{2}) = (sqrt{2})^2 + (sqrt{2})^2
- 4 cdot sqrt{2} cdot sqrt{2} = 2 + 2
- 8 = -4 $$ 同理，当 $ y = -sqrt{4
- x^2} $ 时，函数值为： $$ f(x, y) = 4
- 4x cdot (-sqrt{4
- x^2}) = 4 + 4x cdot sqrt{4
- x^2} $$ 在 $ x = pm sqrt{2} $ 时，函数值为： $$ f(sqrt{2}, -sqrt{2}) = 4 + 4 cdot sqrt{2} cdot sqrt{2} = 4 + 8 = 12 $$ 也是因为这些，在边界上，函数取得最大值 12，最小值 -4。 综上，函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2
- 4xy $ 在闭区间 $ D = {(x, y) in mathbb{R}^2 mid x^2 + y^2 leq 4} $ 上的极值为：
- 最大值：12，出现在点 $ (sqrt{2}, -sqrt{2}) $
- 最小值：-4，出现在点 $ (sqrt{2}, sqrt{2}) $ 也是因为这些，题目答案应为：函数在闭区间上的最大值为 12，最小值为 -4。
多元函数极值分析的技巧与注意事项

在分析多元函数极值时，考生需要注意以下几点：
1.极值点的确定：通过梯度为零的条件，找到临界点；
2.边界条件的分析：闭区间内极值可能出现在边界上，需考虑边界函数；
3.函数的连续性：函数在闭区间上连续时，极值一定存在；
4.控制变量法：在边界条件下，可以将变量转化为一元函数进行求解；
5.对称性与几何意义：对于对称性较强的函数，可尝试利用几何方法简化分析。 除了这些之外呢，题目中出现的函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2
- 4xy $ 本身具有一定的对称性，将 $ y $ 替换为 $ -y $，函数值不变，这表明该函数在几何上可能具有对称性，这也为极值点的确定提供了参考。
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