2020考研数学一真题19题(2020考研数学一真题19题)

2020年考研数学一真题第19题是关于多变量函数极值的典型问题，题目要求在给定的约束条件下，求函数的极值。该题通过对函数的定义域、导数、偏导数、二阶导数等基本概念的综合应用，考查了考生对极值判定定理的掌握程度。

题目给出一个函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2
- 2xy $，在约束条件下 $ x + y = 1 $ 下求其极值。考生需要明确函数的定义域，以及如何在约束条件下求极值。

题目要求在 $ x + y = 1 $ 的条件下求 $ f(x, y) $ 的极值。可以将 $ y = 1
- x $ 代入函数 $ f(x, y) $，转化为一个一元函数，进而求出极值点。这样，问题就转化为求函数 $ f(x) = x^2 + (1
- x)^2
- 2x(1
- x) $ 的极值。

• 首先展开函数表达式：

$ f(x) = x^2 + (1
- x)^2
- 2x(1
- x) $

$ = x^2 + 1
- 2x + x^2
- 2x + 2x^2 $

$ = 4x^2
- 4x + 1 $

求导并求临界点：

• 对 $ f(x) $ 求导得：

$ f'(x) = 8x
- 4 $

• 令导数为零，解得：

$ 8x
- 4 = 0 Rightarrow x = frac{1}{2} $

代入 $ y = 1
- x $，得到 $ y = frac{1}{2} $，所以极值点为 $ (x, y) = (frac{1}{2}, frac{1}{2}) $。

需要判断该点是否为极值点。由于函数在该点的二阶导数为正，说明该点为极小值点。

• 计算二阶导数：

$ f''(x) = 8 $

• 由于 $ f''(x) > 0 $，说明该点为极小值点。

也是因为这些，函数 $ f(x, y) $ 在约束条件 $ x + y = 1 $ 下的极小值为：

• 代入极值点计算：

$ f(frac{1}{2}, frac{1}{2}) = (frac{1}{2})^2 + (frac{1}{2})^2
- 2 times frac{1}{2} times frac{1}{2} = frac{1}{4} + frac{1}{4}
- frac{1}{2} = 0 $

，函数在约束条件 $ x + y = 1 $ 下取得极小值为 0。

该题的解题过程主要涉及以下几个方面：

• 函数的定义域与约束条件的建立。
• 代入约束条件，转化为一元函数求极值。
• 求导并求临界点。
• 判断临界点的类型，确定极值点。
• 计算极值的值。

该题不仅考查了考生对多元函数极值的理解，还涉及到对函数导数的熟练运用，以及对函数性态的深刻分析。题目设计合理，层次分明，适合用于考察考生在多元函数极值问题上的综合能力。

易搜职考网作为考研数学命题研究与真题解析的权威平台，长期致力于对历年真题的深入分析，帮助考生全面掌握考试命题规律与解题思路。2020年考研数学一真题第19题在命题上具有较强的针对性，既考查了考生对函数极值的基本知识掌握情况，又通过约束条件的引入增加了题目的难度和综合性。

在备考过程中，考生应注重对多元函数极值的系统学习，尤其是对约束条件下的极值问题，需要掌握代入法、拉格朗日乘数法等方法。
于此同时呢，考生应熟练掌握导数的计算、临界点的判断以及二阶导数的判别方法。

建议考生在备考时，可以借助易搜职考网提供的历年真题解析和教学资料，系统复习相关知识点，并通过做题巩固解题思路。
除了这些以外呢，建议考生多关注命题规律，掌握高频考点和易错点，从而在考试中取得优异成绩。

2020年考研数学一真题第19题是一道典型的多变量函数极值问题，考查了考生在约束条件下的函数极值求解能力。该题的解题过程涉及函数的定义、导数、临界点判断以及二阶导数的应用，体现了数学分析的基本思想和方法。考生在备考过程中应熟练掌握这些基本概念和方法，提高解题效率和准确性。

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