数二考研第18题｜函数极限深度解析与综合应用

题目呈现

设函数 $ f(x) = frac{sin x}{x} + frac{1}{x^2} $，求极限 $ lim_{x to 0} f(x) $。

【题型定位】：数学二·第18题（综合应用题）｜分值：11分｜考查模块：函数与极限

核心考点分布

• 基本极限公式应用：$ lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1 $ 的识别与使用条件
• 无穷小量阶的比较：$ frac{1}{x^2} $ 的无穷大行为判定
• 极限存在性判断：左右极限是否相等、是否为无穷大
• 代数运算规则适用性：极限四则运算法则的前提条件
• 函数连续性延伸：该极限结果对函数在 $ x=0 $ 处连续性的启示

标准解题步骤（含过程分析）

第一步：拆分函数结构

将原函数 $ f(x) $ 显式分为两部分：

$$ f(x) = underbrace{frac{sin x}{x}}_{text{第一部分}} + underbrace{frac{1}{x^2}}_{text{第二部分}} $$

第二步：分别求极限（注意前提条件）

• 第一部分：因 $ lim_{x to 0} sin x = 0 $，$ lim_{x to 0} x = 0 $，且在 $ x=0 $ 的去心邻域内分母不为零，满足 $ frac{0}{0} $ 型未定式，可应用经典极限公式：
$$ lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1 $$
• 第二部分：当 $ x to 0 $ 时，$ x^2 to 0^+ $，故 $ frac{1}{x^2} to +infty $。需强调：此处为正无穷大，而非正负不定或负无穷大，因平方项恒非负。

第三步：综合判断整体极限

由于 $ lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1 $（有限值），而 $ lim_{x to 0} frac{1}{x^2} = +infty $（无穷大量），根据极限运算规则：

$$ lim_{x to 0} left( text{有限值} + text{正无穷大} right) = +infty $$

因此：

$$ lim_{x to 0} f(x) = +infty $$

【结论】：该极限不存在（为正无穷大）。

常见错误辨析（考生真实错解归类）

1. 【错误类型】：误用洛必达法则于非未定式

某考生将整个 $ f(x) $ 视为分式，错误尝试对 $ frac{sin x + x}{x^2} $ 求导，导致分子分母同时错误变形，最终得出 $ lim_{x to 0} f(x) = 0 $ 等错误结论。

【根源】：未识别极限类型。原式并非 $ frac{0}{0} $ 或 $ frac{infty}{infty} $ 型，不可直接使用洛必达法则。

2. 【错误类型】：忽略符号方向

将 $ frac{1}{x^2} $ 的极限误判为 $ infty $（不带符号），或更严重地写作 $ pminfty $，导致后续推导模糊。

【影响】：在涉及比较判别法（如积分敛散性判断）时可能引发连锁错误。

3. 【错误类型】：错误合并极限

试图将 $ frac{sin x}{x} + frac{1}{x^2} $ 通分为 $ frac{x sin x + 1}{x^2} $，再错误地认为分子 $ x sin x + 1 to 1 $，分母 $ x^2 to 0 $，从而直接得出 $ frac{1}{0} = infty $，虽结果正确但过程不严谨。

【关键疏漏】：未说明 $ frac{1}{0} $ 的极限需分左右极限讨论，且 $ frac{1}{x^2} $ 的极限为正无穷是因平方项恒正，不能泛化为 $ frac{1}{x} $ 的情况。